domingo, 19 de agosto de 2012

Sombras

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 Calcular la sombra de un cuerpo se reduce a calcular la intersección de rectas y planos, las que representan a los rayos de luz y las superficies con las que se intersecan, respectivamente.












La sombra de un cono en sistema diédrico
Por el vértice A2 seguimos la dirección del rayo de luz hasta que intercepta el suelo en P. Proyectamos también en planta por A1 la dirección del rayo y en la intersección de la vertical por P con esta dirección obtenemos la sombra del vértice As en planta.
Desde As hacemos las tangentes e t a la circunferencia base del cono y obtenemos los puntos de tangencia M N desde los que hacemos segmentos hasta A1.
A1 M N es el sector circular de sombra propia en planta y en alzado subimos N M hasta la circunferencia y unimos con A2 teniendo así la sombra propia del alzado.
La sombra que arroja sobre la planta es la región As-M-A1-N menos el sector circular y sobre el alzado desde N2 hasta P.













La sombra arrojada y la línea que separa la luz de la sombra propia de un cuerpo son homólogas: cada punto del contorno que separa la luz de la sombra propia A y su sombra arrojada sobre el suelo A’, están alineados con el foco de luz O. El segmento que pasa por cada par de puntos de la silueta de sombra AB se cortan en la intersección (el eje) de su plano VAB con el plano de la sombra A’B’V’, en el mismo punto P donde se cortan sus homólogos A'B'















Hay dos tipos de sombra, la provocada por un punto de luz cercano que provoca que la sombra se irradie desde él y la que corresponde a una luz distante, semejante a la solar y cuyos rayos de luz se consideran paralelos.
En el primer caso siempre se proyecta la luz L sobre el suelo L’. L se alinea con el punto del que se quiere calcular la luz (p. ej. A) y L’ con la proyección en el suelo de ese punto (con A’). La intersección de LA y L’A’ es As, sombra del punto A desde L.
Cuando un segmento m del objeto es paralelo al suelo, su sombra ms es paralela a él.
Si no es paralelo (A A'), el segmento corta el suelo en un punto -A'- (o su prolongación), la sombra se proyecta entonces desde ese punto A', ya que la sombra de ese punto es él mismo.















En la luz distante se opera igual, con la salvedad de que los rayos de luz se consideran paralelos y por tanto sus proyecciones también. Tenemos dos direcciones: la dirección del rayo a por un punto P del objeto y su proyección sobre el suelo, la línea a’ que pasa por P’ (P'es la proyección ortogonal de P sobre el suelo).
Las líneas a a' provocan en su intersección el punto Ps, sombra de P.















Cuanto más cerca está el punto de luz del objeto, más se abre la sombra y se incrementa el área de esta.



Los diferentes valores en los tonos que hay sobre el objeto (oscuridad distinta en las partes del cuerpo)se deben a la reflexión de la luz, entre otros efectos:

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Luz que puede parecer distante por permanecer las líneas del contorno de la sombra paralelas, puede ser no obstante puntual debido a un efecto de convergencia de las paralelas propio de la perspectiva.














Si desde L’ hacemos la tangente a la base L’T’, tenemos que a partir de ese punto se separa la luz de la sombra. Como la figura es vertical, por T’ hacemos la vertical y localizamos en la intersección con la circunferencia el punto T que es el que corresponde al punto de tangencia de la sombra del círculo y de la generatriz TT’.
A la línea TT’ que separa la luz de la sombra se le llama línea separatriz.















Una figura puede definir su forma por medio de las sombras. A un único alzado corresponden múltiples posibilidades de combinación de volúmenes en planta.
Dos rectángulos en alzado se pueden interpretar, por ejemplo:















1-Como un prisma sólido saliente.

















2-Como un prisma hueco.

















Para calcular la sombra que una figura proyecta sobre el plano vertical PV, se proyecta ortogonalmente sobre el plano horizontal PH, el punto del que se quiere calcular su sombra, por ejemplo V1 como proyección del vértice V. Por V (vértice del cono) trazamos la dirección del rayo de luz V en el espacio. Por V1 trazamos sobre el PH la recta d, que es la proyección ortogonal del rayo de luz que pasa por V. La intersección de rayo de luz y su proyección es Vs, punto de sombra de V si no hubiera un plano vertical delante.
Si por la intersección de d con el PV levantamos una recta vertical hasta que corte al rayo de luz obtenemos V’s que es la sombra de V sobre el plano vertical.
Desde las tangentes trazadas desde Vs al cono tenemos la sombra del contorno del mismo, si donde cortan esas tangentes al plano vertical lo unimos con V’s tenemos la sombra arrojada del cono sobre el PV.













Calcular la sombra sobre el plano vertical es en síntesis determinar la intersección del rayo de luz con el plano vertical, para ello pasamos un plano vertical por el rayo hasta que corte al PV. También se puede reducir a determinar las trazas del rayo de luz b, que son Vs (horizontal) Vs2 (vertical).













Para calcular la sombra del cilindro con luz distante (rayos paralelos que simulan luz solar) se proyecta la cara superior del cilindro: la sombra del centro A es As (intersección de rayo de luz y su proyección ortogonal sobre el suelo) ya que la dimensión de la circunferencia proyectada es igual a la del objeto por ser la cara superior del cilindro paralela al suelo.
Desde la sombra de la circunferencia de centro As se hacen las tangentes t p a la base del cilindro y en los puntos de tangencia se levantan verticales, que son las líneas que separan la luz de la sombra.















Tenemos la dirección del rayo de luz en planta y alzado (d1 d2), la traza horizontal As de esta recta es la sombra en planta del punto A, centro de la cara superior.
Desde la circunferencia de centro As se hacen las tangentes t p a la circunferencia en planta de centro A1. El punto Z1 de la tangente t al cilindro, se proyecta en el alzado para diferenciar en el mismo la separación de luz y sombra, análogamente se hace en el punto diametralmente opuesto de la tangente a p.














Para calcular la sombra de la pirámide se determina la sombra As del vértice A como intersección del rayo de luz y su proyección ortogonal sobre el suelo. Unimos a continuación los vértices de la base con As, las líneas límites delimitan la sombra arrojada de la figura y sus puntos de contacto hasta el vértice A determinan la sombra propia.














Tenemos la dirección del rayo en el alzado y en planta su proyección, observamos en el alzado que el rayo de luz corta al suelo en P, bajamos una vertical hasta que corte a la proyección del rayo en planta en As. Unimos As con los vértices de la base y observamos los bordes de la sombra que delimitan 2 caras con sombra propia y las reflejamos también en el alzado.













La sombra de una pirámide oblicua tiene un proceso afín al anterior, se calcula la intersección de la dirección de la luz d con el plano vertical que pasa por V y su proyección ortogonal V1 y el plano verde: su intersección es una vertical que pasa por P, punto de intersección del plano horizontal y vertical. La intersección de esta vertical y la recta d es la sombra de V, Vs2.
Desde Vs1, sombra de V sobre el plano horizontal si no hubiera plano vertical, se trazan las líneas del contorno de sombra y donde cortan a la intersección del plano vertical y horizontal se unen con Vs2.













En diédrico tenemos que calcular las trazas de la recta o rayo de luz d. La traza horizontal y vertical son respectivamente la sombra sobre el plano horizontal (Vs1) y vertical (Vs2).













La sombra de un prisma recto de base rectangular se obtiene trasladando la cara superior hasta llegar al suelo, por estar la cara y su sombra en una correspondencia llamada homotecia afín. Como la cara es paralela al suelo bastará con re-dibujar el rectángulo a partir del punto As y hacer las tangentes a los 2 rectángulos, la base y la sombra proyectada.














Uniendo los dos rectángulos idénticos tenemos la sombra arrojada completa en planta. Las dos caras sombreadas las marcamos a continuación sobre el alzado.











Para calcular la sombra de una figura plana ABC formada por varios puntos se calcula la sombra de cada punto sobre el plano horizontal Sa Sb Sc y sobre el plano vertical S’a S’b S’c.
La intersección de los dos triángulos sobre los dos planos es la línea en la que la sombra pasa del plano horizontal a vertical. La sombra de la figura está formada por los puntos del plano horizontal: Sa Sb y del vertical: S’c.

















Para calcular la sombra en sistema diédrico por cada punto se proyecta la dirección de la luz en planta por cada uno de los puntos de la figura y en alzado se procede de la misma forma y en el momento en que estas líneas toquen la línea de tierra en dos puntos se hace una vertical por ambos, donde corten a las dos direcciones de cada punto se tiene las trazas de cada recta o rayo.
Para saber si corta en el plano vertical u horizontal, esto es, sobre que plano se proyecta la sombra, basta con saber que lo hace en el punto más cercano al punto de donde sale la luz, sea planta o alzado.















La sombra de la figura se calcula de la siguiente forma:
Tenemos la dirección A-As del rayo de luz y la dirección de su proyección C-B sobre el plano horizontal.
Como AB es un segmento vertical proyectará una sombra vertical As-C sobre un plano vertical. Levantamos en consecuencia una vertical por el punto C, intersección de la recta BC con la cara que pasa por el punto. Donde la vertical por C corte a la dirección A-As tenemos calculado As. La sombra de F-A será F-As, la de A-E será C-E. La sombra proyectada m es paralela a C-B por ser los planos que las contienen paralelos.















Para calcular la sombra del punto A hacemos una vertical para obtener en la intersección con la arista de la base, A1. Tenemos las direcciones de la luz A-As y su proyección A1-A’s.
Por B1, proyección de B, construimos la cara imaginaria paralela a A-A1-D, que intercepta a A1-A’s en P, levantamos por este punto una vertical hasta que corte a la dirección A-As en As, y esta es la sombra de A.
La sombra de AD es una paralela por As a la recta.















La sombra de una esfera se calcula por el cilindro tangente a la misma, la circunferencia ABCD es la circunferencia que separa la luz de la sombra.
La intersección del cilindro con el suelo es la sombra de la esfera As Bs Cs Ds.
Por el centro de la esfera pasa el eje del cilindro y corta en el plano del suelo en el centro de la elipse O’.














Para calcular en sistema diédrico la sombra propia y arrojada de la esfera, se dibujan las tangentes a la esfera en planta y alzado siguiendo la dirección r2 de los rayos de luz, en el alzado unimos los dos puntos de tangencia A2 B2 obteniendo la separación de luz y sombra -en violeta- y bajamos esos dos puntos a la planta A1 B1 y obtenemos el eje menor de la elipse, el mayor pasa por el centro de la esfera y es tangente a la misma en D1 C1.
En el alzado por el centro de la esfera seguimos la dirección del rayo r2 hasta que intercepta la línea de tierra en un punto por el que bajamos una vertical. En la planta seguimos la dirección de r1 por el centro de la esfera hasta que corte a la vertical anterior obteniendo así el centro de la elipse. La dirección de los rayos de luz en el alzado definidos por la recta r2 interceptan en la línea de tierra puntos por los que bajamos verticales que interceptan a las rectas horizontales por la dirección r1. La intersección de las horizontales y verticales nos determina el cuadrilátero donde se inscribe la elipse que es la sombra arrojada de la figura.

















Dada una esfera, determinar la sombra propia y arrojada sobre el suelo en el que se apoya por una luz puntual.
El cono de luz puntual tangente a la esfera divide a la misma en dos zonas, la correspondiente a la luz y la correspondiente a la sombra, la línea de tangencia que separa la luz de la sombra se le llama separatriz.
La intersección de ese cono con el plano del suelo produce una elipse que es la sombra que arroja la esfera sobre el suelo. En la esfera, la línea separatriz que separa la luz de la sombra es una curva plana de la misma, por tanto es una circunferencia homóloga de la sombra elíptica que proyecta la esfera sobre suelo.
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Para calcular en planta y alzado la sombra propia y arrojada de la esfera, hacemos en el alzado desde el punto de luz L1’ dos líneas tangentes a la esfera hasta que cortan a la línea de tierra en dos puntos N2 S2, que bajamos hasta la línea que une el centro de la esfera con el punto de luz en planta L1’, este segmento N1 S1 corresponde al eje mayor en planta de la elipse de la sombra proyectada de la esfera.
Las dos tangentes en el alzado desde la luz L2’ definen los puntos de tangencia L2 T2 con la circunferencia del alzado, es el segmento separador entre luz y sombra sobre la esfera en el alzado, proyectamos estos puntos de tangencia sobre la planta obteniendo sobre la esfera el eje menor de la elipse L1 T1.
El cono tangente a la esfera lo es a la sombra elíptica proyectada sobre el suelo, por lo que los puntos de tangencia J1 Y están alineados con el punto de luz L1’ (como K1 D L’1).
El eje mayor de la elipse en planta (correspondiente a la circunferencia que separa la luz de la sombra propia de la esfera), es igual a la longitud en el alzado L2 T2 y es un segmento que pasa por el centro de la esfera, ambos segmentos están en verdadera magnitud, uno en planta y otro en alzado.
Si unimos los puntos del alzado N2 S2 correspondientes a la sombra proyectada de la esfera, y cogemos el punto medio O2 de ese segmento y lo unimos con el punto de luz L2’, obtenemos en la intersección con la línea L2 T2 el punto P2. Este punto lo bajamos a la planta y obtenemos la línea homóloga por P1 correspondiente a la que va ser la sombra del eje menor de la elipse H1 Ñ1. Unimos el punto el punto P1 que el punto L1’ de luz en planta y en la intersección de la vertical que pasa por el centro de la elipse en planta O1 correspondiente a la sombra proyectada tenemos H1, su simétrica Ñ1 determina la longitud real del eje menor H1 Ñ1 de la elipse.













Para calcular la sombra de una pieza que tenga planos en pendiente con elementos sobre ella, partimos de que la sombra del punto Z es Zs. Este es la dirección del rayo de luz por lo que el centro de la circunferencia del cilindro seguirá esta dirección y proyectará su sombra en la intersección de esta recta con la línea m, que es la proyección de equis sobre el plano en pendiente. Tenemos así que la sombra del punto O es Os. Se hacen las tangentes al cilindro (n) y definen la línea que separa la luz de la sombra.














La sombra del punto a se obtiene al hacer el plano vertical que pasa por la recta A -A1, la dirección del rayo de luz es A-As y la intersección del plano vertical con el prisma en pendiente en forma de cuña es A1-G. Por lo tanto la intersección de la recta con el plano en pendiente es As.
Para obtener la sombra arrojada ÑU sobre el plano vertical tenemos que la recta b corta a la recta a en el punto U. Tenemos por tanto que la sombra de la recta b es bs.















Tenemos la dirección del rayo de luz A-As y su proyección sobre el plano del suelo A1-As. Para saber dónde intercepta el rayo de luz que pasa por el punto B al plano rojo en pendiente calculamos la intersección del rayo de luz m con la recta de intersección del plano vertical que pasa por m y el plano en pendiente. El plano vertical corta al prisma rojo según la recta CE, ya que por el suelo lo corta según la recta ED y a partir del punto D hacemos una vertical DC hasta que corta al arista superior. La recta EC es la intersección del plano vertical con el plano en pendiente y corta a la recta m en el punto Bs, por lo tanto esta es la sombra del punto B.
Si por As tratábamos la paralela a la recta AB para proyectar la sombra de ella ahora tenemos que esta recta intercepta al prisma en un punto, este punto lo unimos con Bs y a partir de este punto hacemos como sombra una paralela a la arista superior del cubo ya que ésta es paralela al plano que está en pendiente.















Tenemos la dirección del rayo de luz en el espacio Q-Qs con su proyección sobre el suelo Q’-Qs. Hacemos un triángulo semejante que pase por los puntos A-A’y de esta forma obtenemos As, que es la sombra del punto A sobre el plano vertical. Haciendo una vertical por As obtenemos en el suelo de la pieza el punto P, que unido a A’nos da la dirección en el suelo de la sombra de A-A’. El punto As lo unimos con M y obtenemos en la arista el punto U por el que hacemos una paralela a la recta AM. Como el plano que contiene al punto U tiene pendiente, prolongamos la recta ZM hasta que corte a la recta n en el punto G. La intersección de la recta paralela a AM que pasa por U con la dirección del rayo de luz A-As intercepta la sombra del punto M, que es el punto T. Uniendo el punto T con G obtenemos en la intersección con la arista de la pieza el punto K.















La sombra de la circunferencia que pasa por el punto M. será otra circunferencia del mismo tamaño que pasa por el punto Ms. La sombra del punto B es Bs y ésta es la dirección del rayo de luz. Por el punto Bs hacemos una paralela a la recta BC hasta que intercepta al arista de la base en el punto I, éste lo unimos con A obteniendo en la arista de la pieza el punto P porque hacemos una paralela a la dirección de la proyección del rayo de luz, esto es, a la que pasa por el suelo y por Bs. Esta dirección por el punto P intercepta a la dirección del rayo de luz en el punto As por el que hacemos una paralela a la recta AU para tener la proyección de la sombra de esa arista.
















Tenemos la dirección del rayo de luz que pasa por el punto A y su proyección m sobre el suelo a partir del punto A’.
La recta m corta a la traza del plano vertical en el punto P por donde se levanta una vertical que intercepta a la dirección del rayo de luz en el punto As. Se trata de calcular la sombra arrojada de la recta DJ sobre el cono. El plano que pasa por esa recta y que lleva los rayos de luz es un plano vertical que corta al cono según una hipérbola. Para determinar los puntos de la hipérbola se pasan planos verticales por el eje del cono OO’, que corta al plano vertical mencionado según la línea vertical que define un punto de la hipérbola que en su intersección con OZ. La sombra es por tanto una hipérbola que pasa por el punto L. Para calcular la sombra del segmento BD se procede de igual forma, por cada uno de los dos puntos se traza la dirección de los rayos solares que determinan un plano, si este plano corta a todas las generatrices del cono, como parece percibirse intuitivamente, estamos ante una curva elíptica y el ejercicio se reduce a calcular una sección del cono por ese plano.
En cuanto a la sombra del cono basta con calcular la sombra Os del vértice superior O, que es la intersección del rayo de luz por el espacio y su proyección sobre el suelo y desde ese punto trazar las tangentes t1 t2 a la base del cono. En los puntos de tangencia T1 T2, se trazan dos generatrices que vayan hasta el punto O, éstas son las líneas que separan la zona de luz y de sombra del cono.















La sombra de un punto cualquiera B de la circunferencia se calcula pasando un plano vertical por B hasta que corte al plano vertical de la pieza en Bs. Para calcular dónde empieza la elipse que pasa por el punto calculado hacemos la sombra del punto A que es el plano que contiene a los rayos de luz, esto es, la separación entre la luz y sombra del cilindro. La sombra del punto A es As y a partir de este punto empieza la curva elíptica que pasa por el punto Bs. Para calcular la sombra de la base superior del cono proyectamos el centro de la circunferencia O sobre un plano imaginario que esté a la altura de la cara superior del prisma, obteniendo el punto O1. Por éste. Trazamos la dirección del rayo de luz por el suelo y son de corte a la dirección del rayo de luz por el espacio O Os obtenemos la sombra del centro de la circunferencia. Trazamos otra circunferencia con el mismo horario y ya tenemos la sombra de la cara superior proyectada sobre la cara superior del prisma. La circunferencia corta a la arista del prisma en un punto por donde pasa la sombra elíptica de la cara vertical.

















La sombra de un prisma sobre un plano inclinado la calculamos como en los ejercicios anteriores. Trazamos un plano vertical que pase por la recta AA’, este plano vertical intercepta a la pieza si la continuamos de forma imaginaria en la base en los puntos OP, por ambos levantamos una vertical hasta que corte a las aristas del plano en pendiente en los puntos M N. La recta que determinan éstos M N es la intersección del plano vertical con el plano en pendiente y la sombra del punto A se obtiene mediante la intersección As del rayo de luz que pasa por A y la recta MN. Los demás puntos Se calculan de igual forma, si prolongamos la recta AB y la recta As-Bs del plano en pendiente se cortan en un mismo punto del plano ya que ambas rectas pasan por el plano que contiene a los rayos de luz.












En este dibujo la dirección de los rayos de luz tiene determinada por la recta a y su proyección ortogonal sobre el suelo imaginario de la pieza por la recta a’.
Para calcular la sombra del vértice O de la pieza sobre el plano inclinado H, pasamos un plano vertical por O, tenemos que éste plano vertical corta al plano H según la recta RK. La intersección de esta recta con la dirección de la luz a nos determina la sombra U’ del vértice O.



Se trata de determinar la sombra del segmento a sobre el plano inclinado con luz distante, de dirección de la luz c conociendo la sombra D del vértice superior R de este segmento a sobre el plano horizontal del suelo.
Pasamos un plano vertical Rn por el vértice superior R del mismo. La proyección perpendicular v de este punto R sobre el suelo es el punto X, que unido con D obtenemos en la intersección con b el punto P. Si unimos los puntos PA (este punto A es la intersección de la recta vertical v que pasa por el punto X con el plano inclinado de la pieza) obtenemos en la intersección con el rayo de luz c la sombra T del vértice superior R del segmento a, que era lo que se quería calcular (intersección de las rectas m c). De esta manera la sombra as del segmento a pasará por este punto calculado y por el pie del segmento a. La sombra del segmento a será el segmento TU. La sombra del segmento superior que pasa por el punto R será una recta paralela por el punto T.




Para calcular la sombra del segmento vertical a de la pieza sobre el plano inclinado adyacente, tenemos que las dos aristas a b de la pieza se cortan en un punto que llamaremos D como tenemos que la sombra del segmento vertical sobre el suelo es la recta c que intercepta al plano inclinado de la pieza en el punto Y, uniendo el punto D con Y tenemos la sombra n de la arista a sobre el plano inclinado.
La dirección del rayo de luz en el espacio viene determinada por la recta r, por lo que si pasamos un plano vertical por esta recta, tenemos que su traza horizontal c corta a la traza horizontal v del plano en un punto G por el que hacemos la recta intersección h que es vertical por ser los dos planos verticales. La intersección del plano en pendiente con el plano hc es la recta i, que es la sombra del segmento vertical MB de la pieza. La intersección de las dos rectas i r nos determina la sombra Ms del punto M de esa arista.




Tenemos un punto H, su proyección ortogonal sobre un plano horizontal H’, y la dirección del rayo de luz H-Hs.
Si queremos calcular la sombra del segmento vertical n sobre el plano inclinado amarillo, tenemos que este segmento n se proyecta sobre el plano horizontal verde siguiendo la dirección Hs-H’ hasta interceptar al plano inclinado en el punto U. Si prolongamos las rectas m n (aristas de la pieza) hasta que se corten en el punto T, tenemos que la sombra d del segmento n pasa por los puntos TU.
Haciendo triángulos proporcionales por cada uno de los puntos de la figura, obtenemos los puntos de sombra respectivos, de esta forma haciendo un triángulo proporcional al primero H-Hs-H’ por T tenemos el triángulo T-S’-Ss. De esta manera la sombra del segmento TS será el segmento S-Ss. Tenemos además que la sombra del segmento z será el segmento zs, por ser planos paralelos. Donde el segmento zs intercepte al plano amarillo inclinado menor lo unimos con el punto final del segmento z, obteniendo la sombra arrojada de este último.
Para calcular la sombra del segmento inclinado a lo prolongamos hasta que corta a la base de la pieza en el punto F, por este punto seguimos la dirección H’-Hs y obtenemos la sombra as del segmento a. La sombra Ps del punto P se obtiene en la intersección de la dirección del rayo de luz que pasa por P con la línea as.




para calcular la sombra del detalle de la izquierda de la pieza, de la que se sabe la dirección del rayo de luz distante v y su proyección sobre el suelo z, prolongamos la recta a hasta que corta en el suelo a la prolongación de la recta e en el punto P.
La recta as que pasa por P y por la intersección del rayo de luz v y su proyección sobre el suelo z intercepta al plano vertical adyacente en el punto K. Si K lo unimos con Y, tenemos la sombra del segmento a sobre un plano vertical (siendo Y la intersección de la recta f de las dos caras de la figura con la recta a). Esto quiere decir que sobre un punto cualquiera de un segmento de la pieza podemos hacer rectas paralelas a esta dirección (como la recta b) para obtener la sombra de ese punto S, siempre y cuando estemos sobre planos verticales paralelos al anterior. De esta forma hemos calculado la sombra arrojada g de la arista T sobre el plano cilíndrico. Para determinar la sombra del vértice W hacemos una recta paralela r al rayo de luz v hasta que intercepte a la línea separatriz g obteniendo de esta forma su sombra que es el punto K.




Para calcular la sombra de una cara x de la figura sobre el plano en pendiente q, tenemos que H tiene su proyección ortogonal sobre el suelo H’, la dirección de la luz viene determinada por la recta r, su proyección ortogonal sobre el suelo viene definida por la recta n. La intersección del plano en pendiente g y el plano vertical que pasa por la recta m es la línea TA (la que determinan dos trazas de los planos). La intersección de esta recta con el rayo de luz r determina la sombra del punto H sobre el plano inclinado, que es I.
Si prolongamos la recta Hw hasta que corte a la recta TJ en el punto E, y pasamos una recta por E y el de la sombra del punto I obtenemos la sombra arrojada del segmento HW sobre el plano inclinado g, que es la recta I-ws. Esta recta es la sombra de la lista de la figura definida por los puntos HW.




Para calcular la sombra del cono apoyado en una generatriz, calculamos la sombra de cada punto de la circunferencia de la base por el procedimiento ordinario, esto es, unimos cada uno de los de la circunferencia con el punto de luz y dónde intercepta con el plano del suelo la proyección ortogonal del rayo de luz tenemos la sombra de ese punto (es la intersección de la traza del plano vertical que pasa por el punto de luz y el rayo de luz).
Una vez que tenemos la sombra de la circunferencia base del cono, que es por regla general una elipse, hacemos desde el vértice del cono V las rectas tangentes a esta elipse. Los puntos de tangencia T1 los unimos con el punto de luz L y donde cortan a la base del cono tenemos los puntos P (y el correspondiente al del otro lado) que unidos con el vértice V definen la línea separatriz que separa la luz de la sombra en el cono (la recta definida por P y el vértice del cono V es la que separa la luz de la sombra en la superficie). En la figura no se puede percibir claramente esta línea por ser el cono una superficie reflectante y mostrar con más fuerza las tonalidades del espacio circundante que las que corresponden a las zonas de luz y de sombra.




En la figura podemos observar un toro con su sombra propia y su sombra arrojada sobre el suelo por luz distante, esto es, por rayos paralelos de luz.
Para calcular ambas sombras, se hace una superficie cilíndrica cuyas generatrices sean tangentes a la superficie tórica. La curva que une los puntos de tangencia de ambas superficies define la zona que separa la luz de la sombra. La superficie cilíndrica corta al suelo según una curva que separa la luz de la sombra.


Para calcular en el sistema diédrico la sombra propia y arrojada de la figura dada en planta, hacemos el alzado y dibujamos en ambas vistas la dirección de los rayos de luz d1 d2. Como podemos observar en el alzado, la dirección de los rayos de luz tangente a la superficie intercepta al plano del suelo en los puntos Cs2, As2, Bs2. Estos puntos los bajamos hasta que cortan a la dirección de los rayos de luz en planta d1 por el centro de la figura en los puntos Cs1, As1, Bs1. Para calcular nuevos puntos de la sombra arrojada del toro sobre el plano del suelo hacemos secciones por planos verticales paralelos a la dirección de la luz d1, de esta manera obtenemos una curva de sección S llamada de Cassini, haciendo las rectas tangentes a esta curva en el alzado en la dirección de la luz d2 obtenemos la sombra de G, que es el punto Gs2 que proyectamos a la planta obteniendo en la intersección con la dirección de los rayos de luz por la curva S el punto Gs1.
Los puntos de tangencia al toro de la dirección de los rayos en el alzado defienden la curva separatriz entre luz y sombra en el alzado, estos puntos que separan la luz de la sombra los bajamos a la planta y dibujamos las curvas correspondientes a la sombra propia de la figura: el punto de tangencia en el alzado A2 definido por la dirección del rayo de luz lo bajamos sobre la planta obteniendo su proyección sobre el toro en el punto A1, en este punto empieza la línea curva por donde comienza la sombra propia n del objeto. Hacemos lo mismo con la parte exterior del toro, el punto C2 que determina la tangente en el alzado los bajamos a la planta y tiene su correspondiente sobre la dirección del sol d1. De igual forma la tangente en el alzado por el punto G2 de la curva de Cassini S2 define la recta azul i que es la línea que separa la luz de la sombra en el contorno exterior del toro.



En la figura podemos observar la perspectiva de una pieza, la sombra arrojada de la misma coincide con el contorno de la pieza, ya que en este caso la dirección de los rayos de luz coincide con la dirección del punto de vista en el infinito, que es donde está el centro de proyección en una axonometría.


Si giramos directamente la perspectiva axonométrica de la pieza observaremos que efectivamente la sombra coincidía con el contorno de la misma. Como ahora la sombra y la figura ya no son coincidentes, las dimensiones y la forma de la sombra arrojada difieren de las dimensiones y el contorno de la pieza.


En la figura observamos cómo se proyecta la circunferencia base del cilindro hueco sobre la superficie cilíndrica por la parte inferior de la superficie.
Por un lado tenemos la dirección de los rayos de luz P-Ps por los que se pasan planos verticales que interceptan a las direcciones Ps-M coincidentes con las generatrices de la superficie cilíndrica en los puntos de sombra Ps, que son los puntos de intersección de cada rayo de luz a y su proyección vertical sobre el cilindro Ps-M.
A partir del segmento horizontal b que pasa por el centro de la circunferencia, es donde empieza la línea separatriz entre luz y sombra.



En la figura podemos observar la sombra de P de la cara superior sobre el suelo Ps2, por Ps2 se hace una paralela g a la arista determinada por los puntos N P obteniendo la sombra de esa arista.
Podemos observar que la dirección de los rayos de luz por el espacio viene definida por P y su sombra sobre el suelo Ps2. Por lo tanto la proyección del rayo de luz sobre el plano horizontal viene determinada por la recta d. Si por Ps2 hacemos una recta perpendicular a la cara NPW, tenemos que en el punto de intersección con W unido con P, la dirección por la que obtenemos la sombra sobre el cilindro de la arista NP y que pasa por el punto Ps1.
Por el punto Ps2 hacemos un plano perpendicular a la cara de la figura que define la recta w y el punto P. De esta forma obtenemos la sombra Ps1 del punto P sobre el cilindro, basta con hacer la generatriz del cilindro por el punto de intersección de la recta amarilla de la cara de la figura con la base del cilindro. Donde esta generatriz corta a la recta determinada por los puntos P-Ps2 obtenemos la sombra Ps1 del punto P sobre el cilindro.
Para calcular otros puntos procedemos de igual forma, por el punto N hacemos dos rectas paralelas al triángulo amarillo anterior hasta que corten a la generatriz que pasa por el triángulo nuevo, obteniendo de esta forma un nuevo punto de sombra Ns de la arista NP sobre el cilindro.


Pasando triángulos por la arista vertical y horizontal de la figura obtenemos en la intersección con las generatrices respectivas del cilindro, la sombra arrojada de estos dos segmentos. En realidad lo que se está haciendo aquí es pasar planos todos paralelos al primero en el que se calculó de la recta de luz r su proyección ortogonal d sobre la cara de la figura.
Como tenemos que la luz es distante, la sombra del cilindro afectará a la mitad de su superficie, por lo que tenemos que si en B, la línea separatriz de luz y sombra es la recta Ms que es la tangente a la circunferencia, la línea separatriz por el otro lado del cilindro, pasará por A, diametralmente opuesto al anterior B, para calcularlo bastará con unir el punto B con el centro O de la circunferencia por donde pasa el eje del cilindro y prolongarlo hasta que corte a la circunferencia en el punto A. A continuación calculamos la sombra del segmento AB, su sombra arrojada genera la curva elíptica a partir de estos dos puntos As Bs.












Las sombras a b de cualquier recta de un objeto en perspectiva cónica siguen los principios perspectivos de la misma, al igual que las líneas paralelas c d del objeto convergen en un punto por efecto de la perspectiva, las sombras de estas rectas por ser paralelas a ellas también concurren en el mismo punto de fuga.















Sombras propias y reflejos en una pieza son elementos usualmente inversamente proporcionales, esto quiere decir que cuanto más reflectante sea una pieza menos sombras propias va a mostrar. Un objeto enteramente reflectante construido con espejos como refleja lo que tiene alrededor no asume sombras. Hay objetos en los que las sombras y los reflejos están repartidos más o menos a un 50%, pueden ser objetos ligeramente reflectantes como una pieza de plástico o una piedra con cierto grado de pulimento. En la imagen observamos que allí donde se reflejan los detalles se van perdiendo la nitidez de los mismos en la profundidad de la pieza. También podemos observar que las sombras incrementan el efecto de la oscuridad de la reflexión. De igual forma cuanta más luz muestra el objeto, menos se perciben las sombras en él. La reflexión del prisma en forma de cuña se percibe en el plano vertical y horizontal pero deja de percibirse la reflexión de la reflexión. La sombra es más nítida cuando está más cerca del objeto por efecto de la difusión de la luz y las sombras del objeto también experimentan reflexión, por lo que hay que sumarlas a los tonos de la sombra.














Un punto de luz proyecta la sombra de una esfera sobre un plano. El contorno de esa sombra arrojada es más nítido cuanto más puntual será la luz. La figura se refleja sobre la sombra con más intensidad que sobre el resto del plano en el que se refleja con más fuerza la luz.
















La penumbra es un efecto de la luz debido a que ésta no es puntual, cuanto más unidos estén los puntos de luz y más pequeña sea ésta, la penumbra será menor. Un punto de luz proyecta una sombra, otro punto de luz proyecta otra y la intersección de las dos sombras es una zona donde, en teoría, no llega luz ninguna y es la zona de sombra, excepto por un efecto atmosférico y por los fotones que rebotan produciendo ese efecto virtual llamado radiosidad.









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Para calcular la sombra de una pieza con luz solar (rayos de luz considerados paralelos por la lejanía del sol), se toman los puntos de la misma A, B, C, D (vértices en color amarillo) y se obtiene de ellos en el pie de su perpendicular al plano del suelo la proyección ortogonal A’, B’, C’, D’ (en color azul). Por la proyección ortogonal de cada punto pasa la proyección del rayo sobre el suelo (en color rojo). La proyección del rayo de luz sobre el suelo donde se apoya la pieza es en realidad la intersección del plano vertical que pasa por el rayo de luz con el suelo y como los rayos de luz son paralelos, sus proyecciones sobre el suelo también lo son.
Por cada uno de los puntos de la pieza pasan los rayos de luz (en color amarillo). La intersección de los rayos de luz amarillos con sus proyecciones sobre el suelo de color rojo son la sombra As, Bs, de cada punto (en color verde).
Si una arista de la pieza está formada por dos puntos consecutivos AB, sus sombras As Bs también determinarán la sombra de la arista que pasa por esos dos puntos adyacentes. Si prolongamos la arista m de la pieza que pasa por esos dos puntos hasta que corta al suelo en un punto P, tenemos que la sombra ms de esa arista también pasa por ese punto P, ya que si la arista de la pieza continuara hasta el suelo, lógicamente la sombra saldría del punto P que se apoyaría en el suelo.
En consecuencia, para calcular la sombra de la pieza basta con hacer triángulos proporcionales o semejantes (triángulos de igual forma pero de distinto tamaño cuando la altura de cada punto es distinta) por cada uno de los vértices de la misma y a continuación unir los puntos correspondientes de su sombra arrojada con el mismo orden que están en la pieza. Hay que tener en cuenta que la sombra arrojada (la que se desprende sobre el suelo) es la que determina este procedimiento, hay que añadir a ésta una sombra propia del objeto que es aquella que yace sobre cada cara de la pieza a la que no llega la luz, además de otra sombra autoarrojada dentro de la pieza que resulta de la intersección de cada rayo de luz con cada cara de la pieza y para cuya resolución determinamos la intersección de una recta y un plano, la correspondiente al rayo de luz y al plano que intercepta.















Un punto de luz ilumina una esfera y provoca en ella una sombra propia y otra que arroja en el suelo. El punto de luz se refleja asimismo en el suelo mediante una simetría espacial. Existe otra simetría espacial, la que provoca el brillo sobre la esfera que queda definido por el rayo reflejado de la esfera de luz, que forma igual ángulo con el eje de simetría ortogonal a la esfera y a un plano tangente a la misma y el ángulo que forman el rayo de luz incidente sobre la esfera con el mismo eje.














El punto de luz es el vértice de un cono tangente a la esfera según una circunferencia denominada separatriz que separa la zona de luz y de sombra. Este cono oblicuo corta al suelo según una elipse que es la sombra de la esfera sobre el suelo.
Si dibujamos la proyección ortogonal del punto de luz sobre el suelo tenemos L’, a igual distancia por debajo del suelo tenemos la reflexión del punto L, que es el punto Lr.
Las tangentes a la esfera c d lo son también a la sombra elíptica de la esfera sobre el plano del suelo.
Si desde la proyección ortogonal sobre el suelo L’ del punto de luz L hacemos las tangentes a b a la sombra de la esfera, tenemos la proyección ortogonal del cono en planta.













Dada una esfera, su sombra propia y arrojada sobre el suelo y el lustre o brillo que produce un foco de luz del que no sabemos su posición, se trata de calcular la posición exacta del punto de luz así como de la esfera respecto al plano del suelo.
Se pide obtener la altura o cota del punto de luz y de la esfera respecto al suelo.
En principio, en muchos objetos, la posición relativa del punto de luz es proporcional a la altura del objeto, por ejemplo en un prisma podemos tener un punto de luz a poca altura y un prisma de poca altura y obtener cierta sombra. Si elevamos proporcionalmente el punto de luz y el prisma podemos obtener la misma sombra arrojada en planta, esto quiere decir que lo único que podemos obtener en planta es la posición o proyección en planta del punto de luz, pero no podemos determinar su altura, ni la del prisma. En algunos objetos es posible calcular su posición exacta, como en la esfera, debido a su sombra propia que aparece oblicua respecto al plano de planta. La sombra propia en la esfera queda separada de la luz por una circunferencia que se proyecta en planta como una elipse siempre perpendicular al eje de revolución del cono de luz circunscrito a la esfera.









Dada la esfera en planta y su sombra propia y arrojada, para determinar la posición exacta de la esfera respecto al suelo y el punto de luz, hacemos primero las tangentes s d a la sombra elíptica y a la esfera en planta obteniendo en su intersección la proyección en planta del punto de luz G.
Dibujamos la elipse que separa la zona iluminada y sombreada de la esfera en planta, es una elipse tangente a las dos rectas s d y perpendicular al eje del cono q en el alzado, cono que es tangente a la esfera. El eje mayor m de esta elipse en planta será igual al eje mayor de la elipse w en el alzado, es una elipse que se transforma en una recta w perpendicular al eje de revolución q del cono.
Si construimos cualquier proyección en alzado de la esfera y hacemos las tangentes r1 r2 a la elipse en planta por su eje menor, observamos que éstas cortan siempre a la esfera en dos puntos U C. También podemos proyectar la esfera en el alzado a cualquier altura y tomar el punto del cuadrante U de la elipse y a partir de él tomar el eje mayor del elipse m con un arco UC obteniendo así el punto C.
Por el centro de la esfera en el alzado P2 se hace una recta perpendicular q a la línea de separación de la luz y la sombra UC obteniendo en la intersección con la vertical que pasa por el punto G el punto
de luz L en alzado. Las tangentes a la esfera en el alzado pasan por los puntos U C y por el punto de luz L y tienen su base en la intersección Ñ H de las verticales f1 f2 por los extremos del eje mayor de la sombra elíptica en planta. En consecuencia por estos puntos Ñ H es por donde pasa el plano del suelo o la línea de tierra. Las tangentes a la esfera t1 t2 en el alzado tienen el mismo ángulo que las tangentes d s a la esfera en planta, ya que es el mismo cono circunscrito a la esfera en proyecciones distintas.
El brillo que aparece sobre la esfera K en el alzado (define el correspondiente a la planta) queda determinado por la dirección a, ésta es la dirección del rayo reflejado simétrica respecto al eje e ortogonal a la esfera por su centro P2, de manera que según las leyes de la reflexión, el rayo de luz a’ forma con el eje e el mismo ángulo que el rayo reflejado a con este eje e. Esta dirección a que refleja el punto de luz L sobre la vertical sólo se puede ver sobre el dibujo de la esfera en la planta, por lo que el lustre aparece en ella sobre la proyección en planta B del punto K, que es la intersección de la recta vertical a que pasa por el punto K con el eje de revolución del cono en planta G-P1.
Para calcular el brillo x del alzado habría que seguir el mismo procedimiento, sería siempre un punto de luz que quedaría sobre el eje de revolución q y cuya dirección del rayo reflejado quedaría definido por una recta de punta ortogonal al plano del alzado.
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Dada una esfera en planta y alzado, determinar la posición exacta del foco de luz que la ilumina sin tener en cuenta ninguno de los objetos que aparecen reflejados sobre ella, salvo la reflexión del punto de luz o lustre.
Como es una esfera cromada enteramente reflectante, no tiene sombra propia ya que refleja todo lo que está a su alrededor, refleja el espacio circundante en color negro, dos prismas en color azul y rosa y su sombra arrojada sobre el suelo y sobre el prisma azul. En el ejercicio se pide calcular la posición exacta del foco de luz en planta y en el alzado, partiendo de su reflexión sobre la esfera.





Tenemos que la reflexión del foco de luz sobre la esfera es el punto B1 B2 en planta y en el alzado, respectivamente. Hacemos una línea vertical d por B1 hasta la parte superior R2 de la esfera, que es donde se ve realmente sobre la planta.
Si por R2 hacemos una línea que pasa además por el centro de la esfera O2, tenemos el eje de simetría e del rayo de luz. Construimos la recta simétrica d’ del rayo de luz vertical y obtenemos en la intersección con la línea que pasa por el centro de la esfera O2 y la reflexión B2 en el alzado, el punto de luz en el alzado L2.
Para obtener el punto de luz en planta hacemos una línea que pasa por el centro de la esfera O1 y por R1. Donde esta línea corta a la vertical que pasa por el punto L2, obtenemos la proyección del punto de luz L2 en planta.







Para calcular las sombras de una escalera, tanto las propias como las que arroja sobre sí misma y sobre el suelo, se sigue el procedimiento usual: el punto A de la escalera tiene su proyección sobre el suelo en A’, la dirección del rayo de luz viene determinado por la dirección A-AS. La proyección de este rayo de luz viene determinado por la dirección A’-AS. La intersección del rayo de luz y de su proyección nos determina la sombra As del punto A.
Siguiendo en la misma línea tenemos que P y su proyección P’ sobre el plano del suelo en el que proyecta sombra, o sea la huella primera o primer escalón en su parte superior en color amarillo, tenemos por tanto a partir de estos dos puntos las dos direcciones, la que se determina sobre la huella amarilla del escalón P’’-Ps’, paralela a la dirección A’-As y la recta P-Ps’ paralela al rayo de luz. La intersección del rayo de luz y su proyección sobre la huella es la sombra Ps’ del punto P sobre ese plano, en caso de que no interfiriera con la primera contrahuella en sombra. Donde la proyección del rayo de sol interfiere con la contrahuella tenemos que la sombra del segmento P-P’’ es la línea k, ya que un segmento vertical se transforma en una recta de sombra vertical sobre un plano vertical.
Una vez que esta recta k toca a la segunda huella correspondiente al segundo escalón, por éste punto de intersección hacemos una recta paralela a la anterior P’’-Ps’, obteniendo así una recta que corta a la recta P-P’’ en el punto P’. Corta además a la recta P-Ps’ en el punto Ps. Ps es la sombra del punto P sobre la segunda huella de la escalera. (Las huellas son los planos horizontales amarillos de los escalones, las contrahuellas son los planos verticales de los escalones)
Si por el punto Z correspondiente a la huella segunda hacemos una prolongación de su arista tenemos que corta a la prolongación del pasamanos m en el punto T, que unido a Ps tenemos en su prolongación al punto J. Ps-J que es la dirección de las sombras del segmento m sobre los planos horizontales o huellas de los escalones.
Si por Z seguimos la dirección vertical de la tercera contrahuella tenemos que corta a m en el punto S, que unido con J nos define las sombras paralelas de las contrahuellas a partir de este escalón, de esta forma la recta SJ es paralela a la recta x y a la recta i. De la misma forma las rectas d, e, f son paralelas a la recta original Ps-J.







En la figura podemos observar el cálculo del ejercicio anterior en sistema diédrico. Tenemos la planta y el alzado de las escaleras así como el cambio de plano o proyección en perfil sobre el lateral izquierdo de la planta. Como sabemos la nueva línea de tierra lleva dos segmentos de cada lado y el giro de ese plano vertical nuevo de proyección, ortogonal al plano horizontal es de 90°, por lo que deja ver el perfil de los escalones y la pendiente de la línea (m) del pasamanos.
Podemos ver la dirección del rayo de luz en planta y alzado, viene determinado respectivamente por la línea A1-As1 y por la línea A2-As2. Como sabemos por el punto determinado por sus proyecciones A1 A2, se definen las dos proyecciones del rayo en planta y alzado, donde la proyección del rayo en alzado corta al plano del suelo (en As2) se baja una línea vertical hasta que corta a la dirección del rayo de luz en planta definido por la línea A1-As1, siendo este último punto la sombra en planta de A1.
Siguiendo la misma dirección en planta y alzado tenemos que por el punto P del pasamanos definido por sus dos proyecciones P1 P2 corta al rayo de luz en proyección vertical al segundo escalón en el punto Ps, tal y como se puede observar en el alzado. Ps lo bajamos a la planta hasta que corta a la dirección del rayo de luz en planta desde el punto P1, obteniendo de esta manera el punto Ps1.
La dirección del rayo de luz en planta por P1, intercepta a la segunda contrahuella en un punto con el que hacemos la sombra vertical sobre esta contrahuella.
En la proyección por cambio de plano del perfil de la escalera, en el lado izquierdo hemos abatido todos los elementos con sus dimensiones reales, de esta forma tenemos que la pendiente abatida del pasamanos corta al plano vertical que pasa por la segunda huella del segundo escalón sobre la línea e en el punto T. Para obtener las dimensiones reales en esta nueva proyección, tenemos que la distancia del alzado desde el punto P2 hasta el suelo, se repite sobre todas las huellas de los escalones, de esta forma tomamos esta medida y hacemos centro en el vértice Z2 definiendo una circunferencia que corta a la línea del pasamanos en el punto S2, esta distancia Z2-S2, es la que hemos puesto en el perfil abatido (S) (Z) para definir la pendiente alfa del pasamanos.
Este punto T se proyecta sobre la planta en la que prolongamos también la línea S1-P1 del pasamanos, cortando a la proyección del punto anterior en el punto T1. Al Unir Ps1 con T1 tenemos la dirección Ps1-J1 que se repite sobre todas las huellas de los escalones y es la que corresponde a la sombra de la arista m del pasamanos sobre esos planos horizontales de los escalones.


Sombras en perspectiva cónica


Perspectiva de prisma y cuña: sombras

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En la figura podemos observar un objeto representado en tres dimensiones y su perspectiva sobre el plano del cuadro amarillo. La planta de la figura formada por un prisma y una cuña está abatida y es coplanar con el plano del cuadro. Al prolongar los lados de la figura, por ejemplo (a) como tenemos que se cortan en la línea de tierra o eje de giro del abatimiento, o también recta intersección del plano de cuadro (en amarillo) con el plano geometral (plano horizontal del suelo en color gris). Cada recta abatida corta a la línea de tierra en un punto que denominamos traza Ta.
La pieza, mantiene fundamentalmente dos direcciones definidas por las rectas d d ‘. Por el punto de vista V se hacen rectas paralelas a ambas hasta que cortan al plano del cuadro en los puntos de fuga F F’, si unimos estos puntos con las trazas correspondientes de cada recta obtenemos la perspectiva de cada una de las rectas de la figura, por ejemplo la recta a’.
La perspectiva de la figura es lo que ve un sujeto que coloca su punto de vista donde está marcado en el dibujo, esto quiere decir que la pieza y su representación sobre el plano del cuadro son coincidentes para ese punto de vista, o lo que es lo mismo cada punto de la figura y su perspectiva está alineado con el punto de vista.








En la figura podemos observar la representación en perspectiva del ejercicio anterior, solapada con la representación en alzado de la pieza y el abatimiento de la proyección en planta por debajo de la línea de tierra.
Las alineaciones que hacían corresponder cada punto de la figura con su perspectiva y con el punto de vista, difieren en esta nueva representación ortogonal, aquí lo que se da es que la proyección ortogonal de los elementos anteriores sí que están alineadas, esto quiere decir que el punto principal P, la perspectiva de un punto y el punto correspondiente de la pieza sí que son los tres elementos perfectamente colineales.
Las alturas de la figura se colocan sobre la línea de tierra y se proyecta esta longitud hasta cada uno de los puntos de fuga, donde intercepta a los puntos de la base de la figura en perspectiva se levantan verticales hasta que corten a la recta superior del segmento proyectado sobre el punto de fuga.














Para calcular las sombras de la figura, tenemos que los rayos solares d a son paralelos por estar el sol infinitamente lejos,-simplificación geométrica que facilita la ejecución del ejercicio.
El conjunto de todos los rayos solares paralelos definen la dirección del sol, y cada una de las proyecciones ortogonales de estos rayos sobre el plano del cuadro d’ determinan la dirección por el suelo de cada uno de los rayos.
Para determinar la sombra de cada elemento de la figura basta con calcular las sombras de los puntos (que son, por ejemplo, la intersección de la dirección del rayo de luz d, y su proyección ortogonal d’ sobre el plano geometral) marcar y diferenciar la zona a la que no llega la luz. De esta manera se tiene que todos los triángulos que pasan por los puntos de la figura n son todos triángulos semejantes con las tres direcciones de los lados coincidentes.
Tenemos también que si una cara de la figura es paralela al suelo, como la proyección cilíndrica o por paralelas de una figura sobre un plano paralelo al anterior transforma esta figura en otra idéntica, se desprende que todas las aristas de la figura de son paralelas al plano geometral permanecen paralelas sus sombras (la recta n es paralela a la recta ns).
Para determinar los dos puntos de fuga correspondientes a la dirección de los rayos solares y a sus proyecciones sobre el suelo o plano geometral se hace por el punto de vista V dos rectas paralelas a ambas b b’, en los puntos de intersección de estas dos rectas con el plano del cuadro PC tenemos el punto de fuga de todos los rayos solares y el punto de fuga de todas las proyecciones de los rayos solares sobre el suelo, respectivamente.


Perspectiva y sombras de figura en forma de L






En la figura observamos la perspectiva cónica de un prisma en forma de L. Partimos para su construcción de la planta de la figura, cuadrilátero de color verde del que prolongamos sus lados hasta que cortan a la línea de tierra LT en varios puntos llamados trazas y que unimos con los puntos de fuga F1 F2, estos puntos de fuga los obtenemos haciendo por el punto de vista rectas paralelas m’ n’ a las líneas anteriores m n. La Unión de cada punto de fuga con la traza correspondiente de cada recta determina la perspectiva de cada una de las rectas de la base de la figura.
Para calcular la sombra de la figura que provoca una luz solar definida por L y su proyección sobre la línea de horizonte L’, alineamos cada uno de los puntos de la figura con L, así por ejemplo tomamos A y hacemos la recta LA, en su prolongación corta a la proyección ortogonal t de esta recta s sobre el plano, que no es otra recta que la que alinea la proyección del punto de luz solar L’ sobre el horizonte con la proyección ortogonal del punto A sobre el plano geometral u horizontal, llamado A’. La intersección de las rectas s t es la sombra As del punto A, y la sombra del segmento vertical AA’ es el segmento As-A’. Todas las sombras de los segmentos verticales sobre el plano del suelo o geometral concurren en el punto de fuga del horizonte L’, mientras que todos los rayos solares que irradian del sol concurren en el punto de fuga L, que no es otra cosa que el punto de luz solar.










En la figura podemos observar el prisma en forma de L detrás del plano del cuadro y su perspectiva sobre el plano del cuadro. La perspectiva de la figura no es más que la intersección del plano del cuadro con todas las rectas que unen el punto de vista V con cada uno de los puntos de la figura. La dirección de los rayos de luz viene determinada por la línea k, donde ésta corta al plano del cuadro tenemos la imagen del sol sobre el plano del cuadro, o lo que es lo mismo, el punto de fuga de todos los rayos solares. Mientras que la proyección vertical de éste punto sobre la línea del horizonte define el punto de fuga de todas las líneas de sombra correspondientes a las rectas verticales sobre el plano horizontal, esta recta queda determinada en el espacio por la línea w y su punto de fuga está sobre la línea del horizonte por ser ésta una línea horizontal.





En la figura podemos observar otra perspectiva diferente del ejercicio anterior resuelto en el espacio, el fundamento del punto de luz solar L con la dirección VL correspondiente a los rayos solares y su proyección sobre la línea del horizonte L’ donde concurren todas las sombras horizontales o sobre el plano geometral de los segmentos verticales de la figura.





Sombras del sol en un cubo



En el dibujo podemos observar la perspectiva cónica frontal de un cubo iluminado por luz solar. Para calcular la sombra que arroja sobre el suelo tenemos que hacer una recta vertical por el sol S hasta que corte a la línea del horizonte LH en el punto S’. los puntos correspondientes a la sombra arrojada de la figura se determinan por la intersección de cada recta e f g que pasa por cada punto de la figura A B C y por el sol S con cada recta que pasa por la proyección del punto sobre el suelo A’ B’ C’ y la proyección del sol sobre el suelo S’. El procedimiento es exactamente igual que si tenemos en un cuarto una bombilla o punto de luz que ilumina un objeto. La sombra de cada punto del objeto es la intersección de cada rayo de luz que pasa por el punto del objeto y el punto de luz de la bombilla con la proyección de ese rayo de luz sobre el suelo, esto es la línea que pasa por la proyección ortogonal de la bombilla sobre el suelo y la proyección ortogonal del punto sobre el suelo.
En la figura tenemos que si alineamos el sol S con un punto cualquiera C y alineamos la proyección del sol sobre el horizonte S’ con la proyección del punto sobre el plano horizontal C’ tenemos que en la intersección de ambas rectas g g’ se genera la sombra del punto Cs. La sombra del objeto corresponde al contorno que separa la luz de la sombra, esto quiere decir que allí donde no llega la luz: A’ A B C C’ es la zona de sombra propia del objeto -las caras en color verde y naranja- y la sombra de ambas son los dos cuadriláteros que forman el polígono irregular de color azul.








Como el procedimiento de la perspectiva es el abatimiento de la cara en planta del cubo, la figura sale al revés, esto quiere decir que la sombra en planta aparece hacia arriba, dirigida a la línea de tierra. Una vez que hemos construido la perspectiva de la figura y sus sombras propia y arrojada, vamos a determinar los datos de esa luz solar. Alineando el punto principal P con el sol y haciendo una recta perpendicular a ésta línea obtenemos el punto de vista abatido (V), que unido con el sol determina la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyo ángulo en color violeta define el ángulo que forma cada rayo solar con el plano del cuadro.
Si abatimos el triángulo que determina la línea definida por el sol y su proyección sobre el horizonte S’ y V en el espacio, tomando esta misma recta como eje de giro obtenemos la altitud o ángulo que forma cada rayo solar con el plano horizontal, esto es, el ángulo al que está el sol respecto al horizonte (en el dibujo aparece de color azul oscuro).
Si prolongamos la sombra de la figura en planta hasta que corta a la línea de tierra, considerando esta como la línea norte-sur, tenemos que el ángulo que forman las dos rectas es el acimut. En el dibujo hemos tomado el ángulo en planta de derecha izquierda, aunque considerando que en la planta por estar abatida la figura aparece invertida, el ángulo real sería de 180° menos el triángulo ocre.








Ángulo entre los rayos solares el plano del cuadro
En la figura podemos observar el fundamento del ejercicio anterior, por el punto de vista PV hemos hecho una recta paralela a los rayos de sol hasta obtener el punto de fuga de los rayos de sol, o lo que es lo mismo la dirección en la cual está el sol. Como podemos observar en el dibujo, hemos abatido a continuación este triángulo azul para obtener el ángulo ñ que forma la dirección de los rayos solares con el plano del cuadro.






La altitud
En la figura podemos observar el ángulo g que forman los rayos de sol respecto al plano horizontal. Si consideramos el triángulo que contiene este ángulo de color rojo en el dibujo y la línea tomada como eje de giro que pasa por el sol y su proyección S’ sobre la línea de horizonte, no hay más que abatir este triángulo amarillo respecto al eje de giro para en la transformación obtener la altitud sobre el plano del cuadro en verdadera forma. En el dibujo se ve expresado este giro mediante el arco en cuyo desplazamiento deja una franja de color roja.









El acimut
En la figura hemos representado la línea norte-sur como la línea de tierra. El ángulo a la derecha que forma la dirección de cada línea de sombra correspondiente a un elemento vertical con esta línea es el acimut. En consecuencia si unimos el punto de vista con la proyección del sol sobre la línea de horizonte S’ obtenemos la dirección x de las líneas de sombra por el suelo, el ángulo que forma esta línea con la línea de tierra es el acimut. Como contamos el ángulo hacia la derecha, 180° menos el ángulo menor que hemos marcado en color ocre, determina el ángulo que forma x’ y la línea de tierra, esto es, el acimut.


Sombras de postes verticales




En el dibujo podemos observar unos segmentos verticales en color rojo y un camino c paralelo a los mismos en color naranja. Para calcular la sombra arrojada de los segmentos verticales con el sol S situado delante del observador, se hace una línea vertical desde el punto donde está el sol hasta que corte a la línea del horizonte LH en el que va a ser el punto de fuga Fs de las líneas horizontales de sombra: as , que es la sombra de un segmento vertical y todos los demás segmentos verticales que se cortan en el punto de fuga Fs.
Si tomamos un segmento vertical a y alineamos su base con el punto de fuga Fs tenemos una recta que es la sombra del segmento vertical (la sombra está entre el objeto y nosotros si el sol está delante nuestra, mientras que si el sol está detrás nuestro la sombra del objeto estaba detrás del mismo) y el límite o extremo del mismo está alineado con el extremo del segmento y con el sol. Esto quiere decir que si alineamos todos los extremos de los segmentos hasta que se cortan en el punto principal P,-ya que la línea que une sus extremos es perpendicular al plano del cuadro-, los extremos de las sombras de los segmentos también se cortarán sobre el punto principal, pues en el espacio son dos rectas paralelas y por lo tanto tienen el mismo punto de fuga P (en el dibujo se puede observar que las dos rectas m ms se cortan en el punto P).
Si desde el sol hacemos una recta hasta el punto principal P y por éste una perpendicular a esa recta tenemos que ésta corta al círculo de distancia en el punto de vista abatido (V’). Uniendo este punto con el sol S tenemos que esta recta (V’)-S y la recta S-P forman un ángulo g que es el que forman los rayos del sol con el plano del cuadro, ya que la recta (V’)-S es paralela a los rayos del sol por tener en éste el punto de fuga, por lo tanto el ángulo g es el que forman los rayos de sol con el plano del cuadro PC.
Podemos observar también en el dibujo la altitud k del sol, esto es, la altura a la que está el sol respecto al plano horizontal, ella queda definida por el ángulo que forma cada rayo de luz con el suelo y se obtiene haciendo por V (el punto de vista) una paralela a estas rectas, esto quiere decir: una recta paralela a los rayos solares por el punto de vista tiene que pasar necesariamente por el punto de fuga de los rayos solares. Basta con abatir esta recta tomando como eje de giro la línea que pasa por el sol S y su proyección ortogonal sobre el horizonte Fs, con lo que tenemos que el punto de vista abatido respecto a estos dos puntos del eje de giro FS-S queda en la posición (v’’) y por lo tanto el ángulo k que aparece en color rojo es la altitud del sol.








Aquí podemos observar el ejercicio anterior con su fundamento en el espacio, la dirección de un rayo de luz en color rojo con dirección al sol queda definida en la perspectiva por una línea paralela a esta recta y que pasa por el punto de vista PV, esta línea de color rojo también corta al plano del cuadro en la imagen o punto homólogo del sol sobre el cuadro, esto es, S. Todos los rayos de sol como son considerados paralelos a la recta roja tienen el mismo punto de fuga en la perspectiva de el sol S, y la protección de los rayos solares sobre el plano del suelo o plano horizontal son rectas paralelas cuya dirección queda definida por una paralela Ths por el punto de vista a las mismas hs hasta que corta al plano del cuadro en el punto Fs. Como por el punto de vista hicimos una paralela a cualquier rayo solar y una paralela a su proyección ortogonal sobre el suelo, tenemos que estas dos rectas pasan por el punto de vista y que por lo tanto se cortan, ello quiere decir que determinan un plano vertical que pasa por el punto de vista, de lo que se desprende que el sol y su punto de fuga sobre el horizonte quedan siempre alineados sobre la vertical que determina la intersección del plano del cuadro con el plano vertical que pasa por el punto de vista y por la perspectiva del sol y su proyección sobre el horizonte.







En este ejercicio podemos ver el caso en el que el sol está detrás del observador. El hecho de que las bases de los segmentos verticales estén alineadas en una recta que pasa por el punto principal P y que las sombras de los segmentos se corten en un punto de fuga F que pasa por la intersección del círculo de distancia y de la línea de horizonte, significa que el ángulo que forman las sombras y el plano del cuadro es de 45°. En este caso tenemos otros dos puntos de fuga, uno el que corresponde al punto de fuga de las rectas horizontales o sombras de los segmentos verticales, que obviamente está sobre el horizonte. El otro punto de fuga está necesariamente sobre la vertical del punto de fuga anterior y queda por debajo del horizonte siempre que el sol esté detrás del observador.
Como en el ejercicio anterior tenemos también que los vértices superiores de los segmentos están alineados por tener la misma altura y que fugan todos al punto principal, por tanto los vértices de las sombras de los segmentos gozan de la misma condición: la recta que los une se corta en el mismo punto de fuga que la anterior, que en este caso es el punto principal P. Si unimos el punto de fuga F’ de los rayos solares con el punto principal P y por este último hacemos una recta perpendicular a la recta anterior, obtenemos en la intersección con el círculo de distancia un nuevo punto de vista abatido (V’), que unido con el punto de fuga anterior define el ángulo g que forman los rayos solares con el plano del cuadro.
De igual forma si hacemos un abatimiento del plano que pasa por el punto de vista y por los puntos de fuga F F’, tomando esta recta definida por los dos puntos como eje de giro, obtenemos el abatimiento del triángulo rectángulo que define el ángulo que forman los rayos solares con el plano horizontal: es el ángulo k ya que por este pasa el punto de vista abatido respecto al eje FF’ y la horizontal que pasa por el punto F’ que es la recta F’T.






En este ejercicio podemos observar el fundamento del ejercicio anterior: por el punto de vista hemos hecho dos rectas paralelas a la dirección de los rayos solares (en color rojo) y a la dirección de sus proyecciones ortogonales sobre el suelo (en color negro). Estas dos direcciones que pasan por el punto de vista PV determinan en el plano del cuadro los dos puntos de fuga correspondientes a la dirección de los rayos solares en color rojo y a la dirección de sus proyecciones sobre el suelo en color negro.
El ángulo que forman los rayos de sol con el plano del cuadro viene determinado por las rectas: la que pasa por el punto de vista y punto de fuga F’ y la que pasa por el punto principal y por el punto de fuga F’.
El ángulo que forman los rayos solares con el plano horizontal o altitud es el mismo ángulo que forma la recta d con su proyección ortogonal sobre el plano horizontal r. Ese ángulo es el que corresponde en el dibujo anterior a k, con la salvedad de que en el mismo se hizo la recta horizontal paralela a la recta r e incidente en el punto F’.


Sombras de una escena





En la figura podemos observar una escena en perspectiva cónica de plano inclinado, ya que las verticales también concurren en un punto. Cuando la luz es puntual –este caso-, el procedimiento de cálculo de las sombras es idéntico al que corresponde a la Perspectiva axonométrica (proyección ortogonal de una figura en la cual las aristas paralelas permanecen paralelas). El punto de luz queda definido por su posición L y su proyección ortogonal sobre el suelo L’. Para calcular las sombras arrojadas de las figuras basta con alinear el punto proyectado sobre el suelo L’ con la proyección ortogonal de cada punto de la figura sobre el suelo. De esta forma, por ejemplo, para obtener la sombra del punto C, unimos el punto de luz L con C, unimos también la proyección ortogonal del punto de luz L’ con la proyección ortogonal C’ del punto C. La intersección de ambas rectas genera la sombra del punto C, que es C’. La sombra del segmento Cm será el segmento C’m. En el caso del cono -en la figura- este detalle no se cumple por tener sus generatrices inclinadas, sólo es válido para la circunferencia de la base.
Como se puede observar en la figura, las figuras circulares o elípticas están rodeadas por un supuesto cono de luz circunscrito a la superficie, cuya intersección con el plano del suelo determina el contorno de la sombra arrojada de la superficie sobre el suelo. En consecuencia siendo la luz un punto, es en realidad el vértice de un cono o de una pirámide circunscrita a la figura cuya línea de tangencia a la superficie determina la línea separatriz entre luz y sombra propia de la figura.






Para calcular la reflexión de objetos que están separados como pasa en la figura en el caso del prisma de color morado que se refleja sobre el verde, se prolongan las aristas de la figura verde hasta que cortan a otra figura que se toma como referencia, como en este caso el tabique que toca la otra figura. De esta forma lo que se trata es de hacer un plano que pase por la cara superior del prisma verde y que corte a todos los objetos circundantes, de esta manera se está haciendo el plano de simetría en el que se van a reflejar cada uno de los puntos de la figura. De esta manera el plano de la cara superior del prisma verde es el que corresponde a las líneas m n ñ, en consecuencia la reflexión del punto A respecto a este plano de simetría es el punto A’.
De igual forma la reflexión del cilindro sobre el prisma viene determinado por el plano de simetría cuya arista de la base es o, haciendo desde un punto B la perpendicular a ésta línea obtenemos la simétrica de B, que es el punto B’, reflejo del anterior.


Sombras de un detalle de arquitectura


En el dibujo podemos observar en detalle la sombra propia y arrojada de una casa. La dirección de los rayos de luz considerados paralelos viene determinada por la recta d y su proyección ortogonal sobre el plano horizontal viene definida por la recta d’. Para calcular la sombra de A, se pasa por el punto un rayo de luz de dirección d, y por la proyección ortogonal del punto sobre el suelo A’ se pasa la proyección del rayo solar d’, esta recta corta al plano del muro en un punto por el que se hace una recta vertical v que corta a la dirección d del rayo solar en el punto P. Por éste punto se hace una recta r paralela a la arista del muro superior, ya que esta recta es paralela al muro. Para saber la pendiente que la sombra va a tener sobre el detalle del marco de la puerta, en el punto de intersección de la recta r con el marco de la puerta hacemos una vertical w hasta que corta al arista superior del muro s, en el punto de corte hacemos una recta u perpendicular al muro, ya que debe contener al plano del marco de la puerta y en el borde del muro z lo unimos con el punto de intersección de la recta r y el marco, obteniendo de esta forma la pendiente de la sombra del muro saliente sobre el marco de la puerta. Para calcular la intersección o sombra sobre detalles oblicuos como puede ser la puerta abierta de la casa, basta con considerar que tenemos siempre las cuatro direcciones paralelas: la dirección del rayo y su sombra y las dos líneas verticales que definen los extremos del trapecio, por ser todos planos verticales. De esta forma por el marco de la puerta hacemos una recta vertical m hasta que corta a su proyección en el suelo, por éste punto pasamos la dirección d’ que corta a la base de la puerta por un punto por el que hacemos una recta vertical x que corta a la dirección del rayo de luz en el punto L. Como cualquier recta queda determinada por dos puntos, basta con hacer la misma operación por otro punto, obteniendo así la dirección de la sombra de cualquier recta, en este caso del marco superior de la puerta sobre la puerta.


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